你能想象，一個等角線問題，竟然困擾了數(shù)學(xué)家們 70 余年？

等角線的定義很簡單，穿過一個點的一組直線，任 2 條之間夾角都相等就是等角線。

比如在二維平面相互垂直的兩條直線或，或相互成 60 度角的 3 條直線。

3 條直線形成的 6 個 60 度夾角，也剛好把一個二維空間分成 6 部分，合起來就是 360 度。

3 也就是二維空間中等角線數(shù)量的最大值了，很極限的滿足了任意兩條直線之間夾角都相等這個條件。

如果再多一條直線，無論怎么擺條件都無法成立。

到了 3 維空間，情況要復(fù)雜一些，不過通過想象和畫圖也可以找出，等角線最多可以有 6 條，此時的夾角是 63.4 度。

到這里都還不難，然而推廣到 4 維、5 維、6 維……N 維呢？

高維空間等角線數(shù)量最大值問題，一困擾數(shù)學(xué)家們就是幾十年。

科學(xué)家們長久以來只能給出一個范圍，而沒辦法算出精確的數(shù)值。

現(xiàn)在，這一難題終于被 MIT 副教授趙宇飛帶領(lǐng)團隊突破了，已被四大頂刊之一的《數(shù)學(xué)年刊》接受，預(yù)計于 2022 年的第一期發(fā)表。

普林斯頓大學(xué)教授 Noga Alon 對此評價:

這是一個美妙的結(jié)果，為幾何極值中一個已經(jīng)被廣泛研究的問題提供了驚人的答案。

火星通信就用上了

在解答問題前，你可能有一個疑惑，研究這個做什么？

其實，尋找高維空間中的等角線最大值不僅有理論數(shù)學(xué)上的意義，也有一定的應(yīng)用價值。

特別是嘈雜通信環(huán)境下的信息編碼和傳輸問題。

比如正在遙遠火星上探索的天問一號和祝融號，它們傳回地球的信號該如何保證準(zhǔn)確性？

信號在如此長的距離中傳輸，不可避免會遇到許多噪聲。

像地球上飛機與塔臺間的通信，手機移動信號等都會造成干擾，這樣火星探測器發(fā)出的信號等傳到地球早就變了樣。

地球這邊的接收方其實一直是靠猜去試圖理解火星上傳回的信息，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了“發(fā)送方以什么形式編碼信息，能讓接收方更容易猜？”。

數(shù)學(xué)家們想到的一種辦法，是把信息打包成“球形編碼”，可以理解成把信息放在像經(jīng)緯度一樣的坐標(biāo)點上。

關(guān)鍵在于只使用有限數(shù)量的點，只要不同點之間的距離足夠遠又有規(guī)律，接收一方就不容易把兩個點的內(nèi)容混淆。

只不過這里的球說的不是日常中能見到的三維球體，而是用數(shù)學(xué)描述的高維幾何球體。

找到等角線就可以找出那些用來編碼信息效果最好的點。

要理解這個問題，還是先回到簡單的二維平面說起。

前面說到，二維平面上的等角線最多有 3 條，相互之間呈 60 度夾角。

用這 3 條直線可以構(gòu)造出一個正六邊形，它的 6 個頂點就適合用來構(gòu)造球形編碼，相鄰的點之間距離相等，經(jīng)過噪聲干擾后也不容易被誤判成另一個點。

之所以要尋找等角線數(shù)量的最大值，是因為合適的點越多能發(fā)送的信息量也就越多。

如果換成三維，就是經(jīng)過正二十面體中心的 6 條對角線。

不過三維球形編碼能發(fā)送的數(shù)據(jù)量，對于火星與地球間通信來說還是遠遠不夠。

如何計算出更高維空間中等角線的最大值，就成了數(shù)學(xué)家們努力的目標(biāo)。

用矩陣研究高維幾何

很長一段時間里，數(shù)學(xué)家們能做到的就是證明等角線數(shù)量的最大值大致不能超過維度數(shù)的平方。

更具體一些，設(shè)維度數(shù)為 d，d 維空間的等角線數(shù)量最大值不能超過下面這個值:

直到 2017 年，蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的 Benny Sudakov 教授的研究才在這一問題上取得了重要進展。

Sudakov 的方法是用線性代數(shù)和圖論的方法來研究這個問題。

還是拿二維平面舉例，先沿著每條線畫一個單位向量:

再去計算每兩條向量之間的點積:

接下來需要圖論的方法建立一個圖，向量是圖中的點。如果向量間的點積是正的，邊就是紅色；點積是負的，邊就是藍色。

進而可以用矩陣表示這個圖:

圖源:Quantum Magzine

高維等角線也可以按這個方法轉(zhuǎn)換成矩陣表示，比如 5 維空間中的 8 個等角線:

圖源:Quantum Magzine

這樣一個不直觀、不方便研究的高維幾何問題，就可以用上圖論和線性代數(shù)里的諸多數(shù)學(xué)工具。

對于這種將高維幾何問題轉(zhuǎn)換的思路，西門菲沙大學(xué)的 Jonathan Jedwab 形容道:

這就像拿光照射 3 維物體，能看見它在一個方向的 2 維投影圖；如果在光照下移動 3 維物體，就能比較不同方向得到的 2 維投影圖，從而獲得更多高維物體的信息。

在對這些矩陣進行研究的過程中，圖論中的拉姆齊定理給了 Sudakov 靈感。

拉姆齊定理認(rèn)為，找一個最小的自然數(shù) R =n ，使得 n 個人中必定有 k 個人互相認(rèn)識或 l 個人互不相識。

這里的 k 和 l，剛好能和矩陣中的正負數(shù)對應(yīng)起來，也就是上面圖中的紅色和藍色。

通過將拉姆齊定理的相關(guān)結(jié)論靈活應(yīng)用于等角線研究中，Sudakov 等人最終證明:

對任何 d 維的圖，在特定角度下，等角線的最大數(shù)目是 2d-2；對于其他任何角度，等角線最大數(shù)目不超過 1.93d。

然而，這并不算是一個真正確定的結(jié)果，只是再次收緊了“等角線數(shù)量”的最大值范圍。

現(xiàn)在，來自 MIT 的趙宇飛團隊，利用一個發(fā)現(xiàn)的新定理，給出了這個難題的確定公式。

新定理解決 70 年難題

趙宇飛團隊先是在對等角線進行研究中，發(fā)現(xiàn)并證明了一個新定理。

這個定理認(rèn)為，有界度圖必須具有次線性第二特征值重數(shù)。

其中，度指在圖論中，頂點相連接的邊的數(shù)目，因此有限圖一定是有界度圖。

神奇的是，這個定理之前并沒有人給出過，但發(fā)現(xiàn)它也確實需要非常的洞察力。

依據(jù)發(fā)現(xiàn)的新定理，趙宇飛團隊成功解決了這個 70 年一直懸而未解的問題:

在給定角度的情況下，所有足夠大的任意維度空間中，等角線數(shù)量的最大值是多少。

具體來說，這篇論文的結(jié)論如下:

給定數(shù)值 α 滿足 0＜α＜1，計算出給定角度 arccos α，設(shè) d 維圖中等角線數(shù)量的最大值為。

設(shè) k 代表鄰接矩陣譜半徑為 /(2α) 的圖的最小頂點數(shù)。

如果 k＜∞，那么對于所有足夠大的 d，都有:

否則有:

特殊地，在 k ≥2 的情況下，對于所有足夠大的 d，有:

在此之前，數(shù)學(xué)家們的研究一直都停留在研究最大值的范圍上，沒有人能給出在指定角度下，任意維度的等角線數(shù)量最大值的確定公式。

對于這項研究，趙宇飛表示:

當(dāng)時我有預(yù)感，團隊會在等角線上取得一些不錯的進展，但完全解決整個問題還是超出了我的預(yù)期。

這次論文背后的團隊導(dǎo)師趙宇飛，在武漢出生，1999 年隨父母移民加拿大。

據(jù)中新網(wǎng)報道，趙宇飛在中學(xué)時被選入資優(yōu)班，他的數(shù)學(xué)老師表示“15 年間，從未給過學(xué)生滿分，直至遇到他”。

目前，趙宇飛在 MIT 任助理教授。

他在 MIT 獲得數(shù)學(xué)和計算機科學(xué)雙學(xué)士學(xué)位后，于劍橋大學(xué)取得碩士學(xué)位，并于 2015 年獲 MIT 博士學(xué)位。

在求學(xué)期間，趙宇飛深入研究了大圖的規(guī)律，尤其是對其中的“圖正則引理”進行了深入研究。

他認(rèn)為，在圖數(shù)據(jù)越來越龐大的當(dāng)下，大圖的世界是無限的，而圖正則原理、圖極限等數(shù)學(xué)方法，正是解決圖數(shù)據(jù)問題的重要工具。

也正是基于這一領(lǐng)域的研究成果，趙宇飛獲得了有“諾獎風(fēng)向標(biāo)”之稱的斯隆獎、柯尼希獎和 MIT 未來科學(xué)家獎。

雖然他的主要研究領(lǐng)域是加性組合，不過他興趣廣泛，對極值問題和概率論，以及理論計算機科學(xué)中的很多問題都感興趣。

值得注意的是，趙宇飛的學(xué)生 Ashwin Sah 在本科期間，還曾經(jīng)對本次研究用到的拉姆齊數(shù)理論做出過重要突破。

這次與等角線最大值問題結(jié)緣，是從 2018 年先在這一問題作出突破的 Sudakov 教授到 MIT 訪問交流開始。

趙宇飛是那次交流活動的主持人。

到了 2019 年暑期，趙宇飛和姜子麟帶著共同的興趣將這一課題作為 MIT 數(shù)學(xué)系暑期研究項目開展。

學(xué)生中的 3 人張盛桐、姚遠和 Jonathan Tidor 參與了這個項目，5 人組成了研究小組。

一開始他們只是覺得這個問題足夠大，是一個暑期研究的好項目，也沒想著能取得多大進展。

沒想到，最后直接一舉解決了。

合影里中間一位是趙宇飛。

左數(shù)第一位姜子麟，北大數(shù)院校友，CMU 博士，以色列理工學(xué)院博士后，發(fā)表這篇論文期間，他曾經(jīng)在 MIT 進行博士后工作。

2017 年，他曾經(jīng)與 MIPT 的 Alexandr Polyanskii 證明了離散幾何中的一個重要猜想“球帶猜想”，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達四十余年的問題。

左數(shù)第二位是 Jonathan Tidor，現(xiàn) MIT 博士生，主要研究方向是加性組合、高階傅里葉分析和離散幾何。

右數(shù)第二位姚遠，上外附中校友，目前是 MIT 研究生，2016 年美國隊 IMO 金牌滿分選手，連續(xù)兩屆獲得阿里全球數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀獎和銅獎，普特南大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽特等獎。

右數(shù)第一位張盛桐，上海中學(xué)校友，MIT 本科生，連續(xù)三屆獲得阿里全球數(shù)學(xué)競賽銀獎、2016 年國家隊 IMO 金牌，有“加強版 IMO”之稱的普特南大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽特等獎(fellow)。

據(jù)趙宇飛教授 2019 年的博客，發(fā)表這篇文章時，姚遠和張盛桐分別都還是 MIT 的本科生，其中姚遠就讀大二，張盛桐則剛上大一:

本科生階段的研究成果就登上四大頂刊之一《數(shù)學(xué)年刊》，也是很厲害了。